Question

已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AE=AC，BD=AB，点F在BC上，且CF=BC．求证：
（1）EF⊥BC；
（2）∠ADE=∠EBC．

Answer 1

解：（1）设AB=3，以点A为坐标原点，以AB所在的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴，建立直角坐标系，
则E（0，1），F（1，2），B（3，0），C（0，3），
∴=（1，1），=（-3，3）
∵•=-3+3=0，
∴EF⊥BC；
（2）∵D（2，0），A（0，0），
∴=（-2，1），=（-2，0），
∴||=，||=2，又•=4，
∴cos＜，＞===，
同理可求cos＜，＞=，
∴＜，＞=＜，＞，
∴∠ADE=∠EBC．
分析：（1）设AB=3，以点A为坐标原点，以AB所在的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴，建立直角坐标系，从而可得到E，F，B，C的坐标，利用向量的数量积即可证得EF⊥BC；
（2）利用•与•数量积中的夹角的余弦即可证得∠ADE=∠EBC．
点评：本题考查数量积表示两个向量的夹角，考查建立坐标系利用数量积判断两个平面向量的垂直关系，属于中档题．