Question

如图，△ABC是等腰直角三角形，其中∠A=90°，且DB⊥BC，∠BCD=30°，现将△ABC折起，使得二面角A-BC-D为直角，则下列叙述正确的是（　　）

①

BD

•

AC

=0；     ②平面BCD的法向量与平面ACD的法向量垂直；③异面直线BC与AD所成的角为60°；  ④直线DC与平面ABC所成的角为30°．

A．①③

B．①④

C．①③④

D．①②③④

Answer 1

分析：根据直线和平面垂直的判定定理可得BD⊥平面ABC，可得①正确．
根据平面BCD与平面ACD不垂直，可得②不正确．
过点C作CM和BD平行且相等，可得∠FEG为异面直线BC与AD所成的角，求得cos∠ADM的值，可得③不正确．
由条件求得∠DCB为直线DC与平面ABC所成的角，可得④正确．

解答：解：由于二面角A-BC-D为直角，BD⊥BC，BD?平面BCD，
故有BD⊥平面ABC．再由AC?平面ABC，可得BD⊥AC，
∴

BD

•

AC

=0，故①正确．
由于平面BCD与平面ACD不垂直，
故平面BCD的法向量与平面ACD的法向量不垂直，故②不正确．
设AB=AC=2，则 BC=2

2

，BD=BCtan30°=

2 6

3

．
过点C作CM和BD平行且相等，则由题意可得BDMC为矩形，
∴∠ADM（或其补角）为异面直线BC与AD所成的角．
求得AD=CM=

BD2+AB2

=

2 15

3

．
等腰三角形ADM中，cos∠ADM=

1 2 DM

AD

=

30

10

，故锐角∠ADM 不等于60°，故③不正确．
由BD⊥平面ABC 可得BC为DC在平面ABC内的射影，∴∠DCB=30°为直线DC与平面ABC所成的角，故④正确．
综上可得，只有①④正确，
故选B．

点评：本题主要考查平面图形的翻折问题，直线和平面垂直的判定与性质，直线和平面所成的角、异面直线所成的角的定义和求法，属于中档题．