Question

已知函数f（x）=lnx-ax+1在x=2处的切线斜率为-．
（I）求实数a的值及函数f（x）的单调区间；
（II）设g（x）=kx+1，对?x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）恒成立，求实数k的取值范围；
（III）设b_n=，证明：b₁+b₂+…+b_n＜1+ln2（n∈N^*，n≥2）．

Answer 1

（Ⅰ）解：由已知：（x＞0），
∵函数f（x）=lnx-ax+1在x=2处的切线斜率为-．
∴，∴a=1．
∴，
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f （x）为增函数，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f （x）为减函数，
∴f （x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）． …（5分）
（Ⅱ）解：?x∈（0，+∞），f （x）≤g（x），即lnx-（k+1）x≤0恒成立，
设h（x）=lnx-（k+1）x，有．
①当k+1≤0，即k≤-1时，h′（x）＞0，此时h（1）=ln1-（k+1）≥0与h（x）≤0矛盾．
②当k+1＞0，即k＞-1时，令h′（x）=0，解得，
∴，h′（x）＞0，h（x）为增函数，，h′（x）＜0，h（x）为减函数，
∴h（x）_max=h（）=ln-1≤0，
即ln（k+1）≥-1，解得k≥．
综合k＞-1，知k≥．
∴综上所述，k的取值范围为[，+∞）．…（10分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知f （x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，
∴f （x）≤f （1）=0，∴lnx≤x-1．
当n=1时，b₁=ln（1+1）=ln2，
当n≥2时，有ln（n+1）＜n，
∵b_n=＜=＜=，
∴b₁+b₂+…+b_n＜b₁+（）+…+（）=ln2+（1-）＜1+ln2．…（14分）
分析：（Ⅰ）求导数，利用函数f（x）=lnx-ax+1在x=2处的切线斜率为-，可确定a的值，利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）?x∈（0，+∞），f （x）≤g（x），即lnx-（k+1）x≤0恒成立，构造函数h（x）=lnx-（k+1）x，利用h（x）_max≤0，即可求得k的取值范围；
（Ⅲ）先证明当n≥2时，有ln（n+1）＜n，再利用放缩法，裂项法，即可证得结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．