Question

【题目】平面上给定及点，构造点列，，，…，使得为点绕中心顺时针旋转时所到达的位置，而和为点和分别绕中心和顺时针旋转时所到达的位置，.若对某个，有，试求的各个内角的度数及三个顶点，，的排列方向.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

采用复数法.建立复平面，并用各点所对应的字母来表示各点自身在这个复平面上所对应的复数（用指数式）.

如图所示，由题设条件得

，

，

，

由以上三式依次递推可得

，

，

.（用棣美弗公式）

所以，（为常数）. ①

由上可知，一般地有（因为①中的是不受限定的，它可取为，这时①中的即为），即必成为公差为的等差数列.所以，有

. ②

由得.故.

即.

由于，所以上式两边约去后可得

. ③

由③即知：边绕顶点沿逆时针方向旋转后完全与重合.所以，，，并且，，沿逆时针方向排列（当，，沿顺时针方向排列时，上面的，，三式及①、②、③三式都依然成立.但由③的几何意义知这是不可能的，因为边绕顶点沿逆时针方向至少要转过的角度后才能与边重合.）