Question

四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a．
（I）若M是底面ABCD的一个动点，且满足|MB|=|MS|，求点M在正方形ABCD内的轨迹；
（II）试问在线段SD上是否存在点E，使二面角C-AE-D的大小为60°？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）以D为原点，

DA

、

DC

、

DS

的方向分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则B（a，a，0），S（0，0，a），…（2分）
设M（x，y，0），则由|MB|=|MS|得

(x-a)2+(y-a)2

=

x2+y2+a2

…（4分）
化简得x+y-

a

2

=0，所以点M在正方形ABCD内的轨迹为△ACD平行于边AC的中位线．…（6分）
（2）假设存在，设

DE

=λ

DS

(0≤λ≤1)，

DC

=（0，a，0）为平面ADE的一个法向量…（8分）
设平面ACE的一个法向量为

n

=（x，y，z），则

n

•

EA

=0，

n

•

EC

=0
即

x-λz=0 y-λz=0

，取z=1，得

n

=（λ，λ，1），…（10分）
所以cos600=

| DC • n |

| DC |•| n |

=

|λ|

2λ2+1

，又0≤λ≤1，解得λ=

2

2

，
故在线段SD上存在点E，

DE

=

2

2

DS

，使二面角C-AE-D的大小为60⁰．…（13分）