Question

已知真命题：“函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）-b 是奇函数”．
（1）将函数g（x）=x³-3x²的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标；
（2）求函数h（x）=log2

2x

4-x

图象对称中心的坐标．

Answer 1

（1）将函数g（x）=x³-3x²的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，
平移后图象对应的函数解析式为y=（x+1）³-3（x+1）²+2=x³-3x，
由于函数y=x³-3x是奇函数，
由题设真命题知，函数g（x）图象对称中心的坐标是（1，-2）．
（2）设函数h（x）=log2

2x

4-x

图象对称中心为P（a，b），
由题设知函数f（x）=h（x+a）-b是奇函数．
则f（x）=log2

2(x+a)

4-(x+a)

-b．由不等式

2(x+a)

4-(x+a)

＞0的解集关于原点对称，得a=2．
此时f（x）=log2

2(x+2)

2-x

-b，x∈（-2，2）．
任取x∈（-2，2），
由f（-x）+f（x）=0，得b=1，
所以函数函数h（x）=log2

2x

4-x

图象对称中心为P（2，1）