Question

已知f（x）=ln（x+1）-ln（1-x），x∈（-1，1），现有下列命题：
①f（-x）=-f（x）；②f(

2x

1+x2

)=2f(x)；③f（x）在（-1，1）上是增函数，
其中正确命题的序号是（　　）

• A、①②③
• B、②③
• C、①③
• D、①②

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由f（x）=ln（x+1）-ln（1-x）推导命题①②③，从而确定命题的真假．

解答： 解：f（-x）=ln（1-x）-ln（1+x）
=-（ln（x+1）-ln（1-x））=-f（x）；
故①成立；
f（

2x

1+x2

）=ln（

2x

1+x2

+1）-ln（1-

2x

1+x2

）
=2ln（|x+1|）-2ln（|1-x|）
=2（ln（|x+1|）-ln（|1-x|））≠2f（x）；
故②不成立；
f（x）=ln（x+1）-ln（1-x）
=ln

1+x

1-x

=ln（-1+

2

1-x

），
∵y=-1+

2

1-x

在（-1，1）上是增函数，
故f（x）在（-1，1）上是增函数．
故③正确；
故选C．

点评：本题考查了函数的性质的判断与证明，属于基础题．