Question

设函数f（x）=sin（ωx+?）（ω＞0，-

π

2

＜?＜

π

2

），给出以下四个论断：①它的图象关于直线x=

π

12

对称；②它的图象关于点（

π

3

，0）对称；③它的最小正周期是T=π；④它在区间[-

π

6

，0)上是增函数．
以其中的两个论断作为条件，余下的两个论断作为结论，写出你认为正确的两个命题，并对其中的一个命题加以证明．

Answer 1

分析：根据所给的条件得到两个正确的命题为（1）①③⇒②④；（2）②③⇒①④，下面对命题（1）进行证明，根据所给的对称轴和最小正周期，求出三角函数的对称点与增区间．

解答：解：两个正确的命题为 （1）①③⇒②④；（2）②③⇒①④．
命题（1）的证明如下：由题设和③得ω=2，f（x）=sin（2x+?）．
再由①得  2×

π

12

+?=kπ+

π

2

（k∈Z），即?=

π

3

+kπ（k∈Z），
因为-

π

2

＜?＜

π

2

，得?=

π

3

（此时k=0），
所以f(x)=sin(2x+

π

3

)．
当x=

π

3

时，2x+

π

3

=π，sin(2x+

π

3

)=0，即y=f（x）经过点（

π

3

，0）
所以它的图象关于点（

π

3

，0）对称；
由f(x)=sin(2x+

π

3

)，2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

f(x)=sin(2x+

π

3

)的单调递增区间是[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

](k∈Z)
当k=0时，[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

](k∈Z)为[-

5π

12

，

π

12

]，
而区间[-

π

6

，0)是[-

5π

12

，

π

12

]的子集
所以y=f（x）它在区间[-

π

6

，0)上是增函数

点评：本题考查三角函数的解析式的确定和三角函数的性质，本题解题的关键是确定函数的解析式，再进行三角函数的性质的运算，本题是一个中档题目．