Question

已知函数f（x）对其定义域内任意两个实数a，b，当a＜b时，都有f（a）＜f（b）．试用反证法证明：函数f（x）的图象与x轴至多有一个交点．

Answer 1

证明：假设函数f（x）的图象与x轴至少有两个交点，…（2分）
（1）若f（x）的图象与x轴有两个交点，不妨设两个交点的横坐标分别为x₁，x₂，且x₁＜x₂ ，…（5分）
由已知，函数f（x）对其定义域内任意实数x₁，x₂，当x₁＜x₂时，有f（x₁）＜f（x₂）．…（7分）
又根据假设，x₁，x₂是函数f（x）的两个零点，所以，f（x₁）=f（x₂）=0，…（9分）
这与f（x₁）＜f（x₂）矛盾，…（10分）
所以，函数f（x）的图象不可能与x轴有两个交点．…（11分）
（2）若f（x）的图象与x轴交点多于两个，可同理推出矛盾，…（12分）
所以，函数f（x）的图象不可能与x轴有两个以上交点．
综上，函数f（x）的图象与x轴至多有一个交点…（14分）