(本小题满分14分)
已知函数.
(Ⅰ)函数在区间
上是增函数还是减函数?证明你的结论;
(Ⅱ)当时,
恒成立,求整数
的最大值;
(Ⅲ)试证明:(
)。
(Ⅰ)在区间
上是减函数;(Ⅱ)
;
(Ⅲ)由(Ⅱ)知:
令,
由
解析试题分析:(Ⅰ)由题 …………(3分)
故在区间
上是减函数 …………………(4分)
(Ⅱ)当时,
在
上恒成立,取
,则
, ……………………(6分)
再取则
…………(7分)
故在
上单调递增,
而,……………(8分)
故在
上存在唯一实数根
,
故时,
时,
故故
……………(9分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)知:
令,
又
即: ………………(14分)
考点:本题主要考查应用导数研究函数的单调性及极值,证明不等式。
点评:典型题,本题属于导数应用中的基本问题,(III)通过构造函数,运用“放缩法”转化成数列“裂项相消法”求和,达到证明不等式的目的。本题涉及对数函数,要特别注意函数的定义域。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分14分)
已知函数,
,其中
.
(1)若函数是偶函数,求函数
在区间
上的最小值;
(2)用函数的单调性的定义证明:当时,
在区间
上为减函数;
(3)当,函数
的图象恒在函数
图象上方,求实数
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(12分)定义在上的函数
,
,当
时,
.且对任意的
有
。
(1)证明:;
(2)证明:对任意的,恒有
;
(3)证明:是
上的增函数;
(4)若,求
的取值范围。
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