Question

已知数列满足：
（1）求的值；
（2）求证：数列是等比数列；
（3）令（），如果对任意，都有，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）；（2）是以为首相为公比的等比数列；
（3）

试题分析：（1）利用赋值法，令可求；
（2）将等式写到，再将得到的式子与已知等式联立，两式再相减，根据等比数列的定，可证明是以为首相为公比的等比数列；
（3）由（2）可写出，利用数列的单调性当时，，当时，，因此，数列的最大值为，则可解的的范围. 
试题解析：（1） 
（2）由题可知：           ①
       ②
②-①可得  即：，又
∴数列是以为首项，以为公比的等比数列
（3）由（2）可得，   
由可得
由可得,所以
故有最大值 
所以，对任意，有
如果对任意，都有，即成立，
则，故有：，解得或
∴实数的取值范围是