Question

11．在Rt△AOB中，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，$|\overrightarrow{OA}|=\sqrt{5}$，$|\overrightarrow{OB}|=2\sqrt{5}$，AB边上的高线为OD，点E位于线段OD上，若$\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{EA}=\frac{3}{4}$，则向量$\overrightarrow{EA}$在向量$\overrightarrow{OD}$上的投影为$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得∠AOB=$\frac{π}{2}$，建立如图所示的坐标系，利用三角形相似，求出AD的值，可得D、E的坐标，由$\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{EA}=\frac{3}{4}$，求得λ的值，可得向量$\overrightarrow{EA}$在向量$\overrightarrow{OD}$上的投影为ED=|$\overrightarrow{OD}$-$\overrightarrow{OE}$|的值．

解答 解：在Rt△AOB中，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，∴∠AOB=$\frac{π}{2}$，
∵$|\overrightarrow{OA}|=\sqrt{5}$，$|\overrightarrow{OB}|=2\sqrt{5}$，∴AB=$\sqrt{{OA}^{2}{+OB}^{2}}$=5，
∵AB边上的高线为OD，点E位于线段OD上，
建立如图所示的坐标系，
则A（$\sqrt{5}$，0）、B（0，2$\sqrt{5}$）、设D（m，n），
则△OAD∽△BAO，∴$\frac{OA}{AB}$=$\frac{AD}{OA}$，∴AD=1，∴$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AB}$，
即（m-$\sqrt{5}$，n）=$\frac{1}{5}$（-$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$），
求得m=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，n=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，∴D（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）．
则$\overrightarrow{OE}$=λ•$\overrightarrow{OD}$=λ（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）=（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$ λ，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$λ），
$\overrightarrow{EA}$=（$\sqrt{5}$-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$λ，-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$λ）．
∵$\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{EA}=\frac{3}{4}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$λ•（$\sqrt{5}$-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$λ）-${（\frac{2\sqrt{5}}{5}λ）}^{2}$，∴λ=$\frac{3}{4}$，或λ=$\frac{1}{4}$，
则向量$\overrightarrow{EA}$在向量$\overrightarrow{OD}$上的投影为ED=|$\overrightarrow{OD}$-$\overrightarrow{OE}$|=|（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）-（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$ λ，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$λ）|
=|（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$（1-λ），$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）（1-λ）|．
当λ=$\frac{3}{4}$时，ED=|（$\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\frac{\sqrt{5}}{10}$）|=$\frac{1}{2}$；当λ=$\frac{1}{4}$时，ED=|（$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，$\frac{3\sqrt{5}}{10}$）|=$\frac{3}{2}$，

故答案为：$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．