数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有2Sn=an2+an．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设正数数列{cn}满足an+1=（cn）n+1，（n∈N*），求数列{cn}中的最大项；
分析：（1）由已知可得2S
n-1=a
n-1+a
n-12（n≥2从而导出a
n+a
n-1=（a
n+a
n-1）（a
n-a
n-1）∵a
n，a
n-1均为正数，所以a
n-a
n-1=1（n≥2），由此推出a
n=n．
（2）由题设条件易得c
1＜c
2，c
2＞c
3＞c
4＞猜想n≥2时，{c
n}是递减数列．令
f(x)=，则f′(x)==，能够推出在[3，+∞）内f（x）为单调递减函数．由
an+1=cnn+1知lncn=．由此能够推出数列{c
n}中的最大项为
c2=．
解答：解：（1）由已知：对于n∈N
*，总有2S
n=a
n+a
n2①成立
∴2S
n-1=a
n-1+a
n-12（n≥2）②
①②得2a
n=a
n+a
n2-a
n-1-a
n-12∴a
n+a
n-1=（a
n+a
n-1）（a
n-a
n-1）∵a
n，a
n-1均为正数，
∴a
n-a
n-1=1（n≥2）
∴数列{a
n}是公差为1的等差数列又n=1时，2S
1=a
1+a
12，解得a
1=1．
∴a
n=n．
（2）解：由已知
a2=c12=2?c1=，
a3=c23=3?c2=，a4=c34=4?c3==，
a5=c45=5?c4=易得c
1＜c
2，c
2＞c
3＞c
4＞猜想n≥2时，{c
n}是递减数列．
令
f(x)=，则f′(x)==∵当x≥3时，lnx＞1，则1-lnx＜0，即f'（x）＜0．
∴在[3，+∞）内f（x）为单调递减函数．
由
an+1=cnn+1知lncn=．
∴n≥2时，{lnc
n}是递减数列．即{c
n}是递减数列．
又c
1＜c
2，∴数列{c
n}中的最大项为
c2=．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意计算能力的培养．
