Question

已知二阶矩阵M=

2 1 a b

（a，b∈R），若矩阵M属于特征值-1的一个特征向量

α1

=

-1 3

，属于特征值3的一个特征向量

α2

=

1 1

．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若向量

β

=

-3 5

，计算M⁵

β

的值．

Answer 1

考点：特征值与特征向量的计算,二阶矩阵

专题：矩阵和变换

分析：（Ⅰ）根据特征值及对应的特征向量直接计算即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）直接计算即可．

解答： 解：（Ⅰ）由

2 1 a b

-1 3

=-

-1 3

，及

2 1 a b

1 1

=3

1 1

可知

-a+3b=-3 a+b=3

，
解得

a=3 b=0

；
（Ⅱ）设

-3 5

=m

-1 3

+n

1 1

，
则

-m+n=-3 3m+n=5

解得

m=2 n=-1

．
所以

β

=2

α1

-

α2

，
从而M5

β

=2M5

α1

-M5

α2

=2(-1)5

-1 3

-35

1 1

=

-241 -249

．

点评：本题考查简单的矩阵计算，属于基础题．