Question

一台设备由三大部件组成，在设备运转中，各部件需要调整的概率相应为0.10，0.20和0.30．假设各部件的状态相互独立，以ξ表示同时需要调整的部件数，试求ξ的数学期望Eξ和方差Dξ．

Answer 1

分析：设出事件，由题意知变量的可能取值，理解在不同取值时对应的事件，做出事件发生的概率，算出期望和方差，运算量较大，解题时特别是在求概率的过程中容易出错．

解答：解：设A_i={部件i需要调整}（i=1，2，3），
则P（A₁）=0.1，P（A₂）=0.2，P（A₃）=0.3．
由题意ξ有四个可能值0，1，2，3．
由于A₁，A₂，A₃相互独立，
∴P（ξ=0）=P（

.

A1

.

A2

.

A3

）=0.9×0.8×0.7=0.504；
P（ξ=1）=P（A₁

.

A2

.

A3

）+P（

.

A1

A₂

.

A3

）+P（

.

A1

.

A2

A₃）
=0.1×0.8×0.7+0.9×0.2×0.7+0.9×0.8×0.3=0.398；
P（ξ=2）=P（A₁A₂

.

A3

）+P（A₁

.

A2

A₃）+P（

.

A1

A₂A₃）
=0.1×0.2×0.7+0.1×0.8×0.3+0.9×0.2×0.3=0.092；
P（ξ=3）=P（A₁A₂A₃）=0.1×0.2×0.3=0.006．
∴Eξ=1×0.398+2×0.092+3×0.006=0.6，
Dξ=Eξ²-（Eξ）²=1×0.398+4×0.092+9×0.006-0.6²=0.82-0.36=0.46．

点评：考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率．