Question

数列{a_n}的前n项和为S_n（n∈N^*），点（a_n，S_n）在直线y=2x-3n上，
（1）若数列{a_n+c}成等比数列，求常数c的值；
（2）数列{a_n}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．
（3）若b_n=

1

3

an+1，请求出一个满足条件的指数函数g（x），使得对于任意的正整数n恒有

n

k=1

g(k)

(bk+1)(bk+1+1)

＜

1

3

成立，并加以证明．（其中∑为连加号，如：

n

i-1

an=a1+a2+…+an）

Answer 1

分析：（1）由“点（a_n，S_n）在直线y=2x-3n上．”可得S_n=2a_n-3n，由通项和前n项和关系可得a_n+1=2a_n+3，变形为a_n+1+3=2（a_n+3）符合等比数列的定义，从而求出c的值．
（2）由（1）根据等比数列通项公式求解有a_n+3=b•2^n-1=3•2ⁿ整理可得a_n=3•2ⁿ-3，先假设存在s、p、r∈N^*且s＜p＜r使a_s，a_p，a_r成等差数列根据等差中项有2a_p=a_s+a_r，再用通项公式展开整理有2^p-s+1=1+2^r-s∵因为s、p、r∈N^*且s＜p＜r所以2^p-s+1为偶数，1+2^r-s为奇数，奇数与偶数不会相等的．所以不存在．
（3）根据题意先求出

1

(bk+1)(bk+1+1)

的表达式，然后令g（x）=2^x即可得出结论成立．

解答：解：（1）由题意知S_n=2a_n-3n
∴a_n+1=S_n+1-S_n=2a_n+1-3（n+1）-2a_n+3n∴a_n+1=2a_n+3（2分）
∴a_n+1+3=2（a_n+3）
∴

an+1+3

an+3

，又a₁=S₁=2a₁-3a₁=3
∴a₁+3=6（4分）
∴数列{a_n+3}成以6为首项以2为公比的等比数列，
∴c=3．
（2）由（1）得a_n+3=b•2^n-1=3•2ⁿ
∴a_n=3•2ⁿ-3
设存在s、p、r∈N^*且s＜p＜r使a_s，a_p，a_r成等差数列
∴2a_p=a_s+a_r∴2（3•2^p-3）=3•2^s-3+3•2^r-3∴2^p+1=2^s+2^r（9分）
即2^p-s+1=1+2^r-s（*）
∵s、p、r∈N^*且s＜p＜r
∴2^p-s+1为偶数，1+2^r-s为奇数
∴（*）为矛盾等式，不成立故这样的三项不存在（12分）
（3）bn=

1

3

an+1=2ⁿ，∴

1

(bk+1)(bk+1+1)

=

1

(2k+1)(2k+1+1)

=

1

2k

（

1

2k+1

-

1

2k+1+1

）（11分）
令g（k）=2^k，则有

g(k)

(bk+1)(bk+1+1)

=

1

2k+1

-

1

2k+1+1

，
∴

n

k=1

g(k)

(bk+1)(bk+1+1)

=

n

k=1

（

1

2k+1

-

1

2k+1+1

）
=（

1

2+1

-

1

22+1

）+（

1

22+1

-

1

23+1

）+…+（

1

2n+1

-

1

2n+1+1

）=

1

3

-

1

2n+1+1

＜

1

3

（13分）
即指数函数g（x）=2^x，满足条件．

点评：本题主要考查数列与函数的综合运用，主要涉及了通项与前n项和的关系，构造等比数列，求通项，等差中项及数域问题．