Question

16、已知曲线 y=x³+x-3 在点 P₀处的切线l₁ 平行直线4x-y-1=0，且点 P₀在第三象限．
（1）求P₀的坐标；
（2）若直线y=4x+a与曲线y=x³+x-3有两个不同的交点，求实数a的值．

Answer 1

分析：（1）根据曲线方程求出导函数，因为已知直线4x-y-1=0的斜率为4，根据切线与已知直线平行得到斜率相等都为4，所以令导函数等于4得到关于x的方程，求出方程的解，即为切点P0的横坐标，代入曲线方程即可求出切点的纵坐标，又因为切点在第3象限，进而写出满足题意的切点的坐标；
（2）原题可转化为方程4x+a=x³+x-2有两个不相等的实数根，即方程x³-3x-2=a有两个不相等的实数根，易得函数f（x）=x³-3x-2的极小值是f（1）=-4，极大值是f（-1）=0，从而求得实数a的值即可．

解答：解：（1）由 y=x³+x-3，得y′=3x²+1，
由已知得3x²+1=4，解之得x=±1．
当x=1时，y=0；
当x=-1时，y=-4．
又∵点P₀在第三象限，
∴切点P0的坐标为（-1，-4）；
（2）原题可转化为方程4x+a=x³+x-2有两个不相等的实数根，
即方程x³-3x-2=a有两个不相等的实数根，
易得函数f（x）=x³-3x-2的极小值是f（1）=-4，极大值是f（-1）=0，
从而可知a=0或a=-4．

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，掌握函数的零点与方程根的关系，是一道中档题．