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【题目】对于函数f(x),若在定义域内存在实数x,满足f(﹣x)=﹣f(x),则称f(x)为“局部奇函数”. (I) 已知二次函数f(x)=ax2+2bx﹣3a(a,b∈R),试判断f(x)是否为“局部奇函数”?并说明理由;
(II) 设f(x)=2x+m﹣1是定义在[﹣1,2]上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围;
(III) 设f(x)=4x﹣m2x+1+m2﹣3,若f(x)不是定义域R上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围.

【答案】解:(I)f(﹣x)+f(x)=0,则2ax2﹣6a=0得到 有解,

所以f(x)为局部奇函数.…(4分)

(II)由题可知2x+2x+2m﹣2=0有解,

,所以

所以

(III)若f(x)为局部奇函数,则f(﹣x)+f(x)=0有解,

得4x﹣m2x+1+m2﹣3+4x﹣m2x+1+m2﹣3=0,

令2x+2x=t≥2,

从而F(t)=t2﹣2mt+2m2﹣8=0在[2,+∞)有解.

①F(2)≤0,即

,即

综上1﹣

故若f(x)不为局部奇函数时


【解析】(I) 由已知中“局部奇函数”的定义,结合函数f(x)=ax2+2bx﹣3a,可得结论;(II) 若f(x)=2x+m﹣1是定义在[﹣1,2]上的“局部奇函数”,则2x+2x+2m﹣2=0有解,进而可得实数m的取值范围;(III) 若f(x)是定义域R上的“局部奇函数”,则f(﹣x)+f(x)=0有解,求出满足条件的m的取值范围后,再求其补集可得答案.

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