【题目】对于函数f(x),若在定义域内存在实数x,满足f(﹣x)=﹣f(x),则称f(x)为“局部奇函数”. (I) 已知二次函数f(x)=ax2+2bx﹣3a(a,b∈R),试判断f(x)是否为“局部奇函数”?并说明理由;
(II) 设f(x)=2x+m﹣1是定义在[﹣1,2]上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围;
(III) 设f(x)=4x﹣m2x+1+m2﹣3,若f(x)不是定义域R上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围.
【答案】解:(I)f(﹣x)+f(x)=0,则2ax2﹣6a=0得到 有解,
所以f(x)为局部奇函数.…(4分)
(II)由题可知2﹣x+2x+2m﹣2=0有解, ,
设 , ,所以 ,
所以 .
(III)若f(x)为局部奇函数,则f(﹣x)+f(x)=0有解,
得4x﹣m2x+1+m2﹣3+4﹣x﹣m2﹣x+1+m2﹣3=0,
令2x+2﹣x=t≥2,
从而F(t)=t2﹣2mt+2m2﹣8=0在[2,+∞)有解.
①F(2)≤0,即 ;
② ,即 ,
综上1﹣ ,
故若f(x)不为局部奇函数时
【解析】(I) 由已知中“局部奇函数”的定义,结合函数f(x)=ax2+2bx﹣3a,可得结论;(II) 若f(x)=2x+m﹣1是定义在[﹣1,2]上的“局部奇函数”,则2﹣x+2x+2m﹣2=0有解,进而可得实数m的取值范围;(III) 若f(x)是定义域R上的“局部奇函数”,则f(﹣x)+f(x)=0有解,求出满足条件的m的取值范围后,再求其补集可得答案.
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【题目】若将函数y=2sin2x的图象向左平移 个单位长度,则平移后的图象的对称轴为( )
A.x= ﹣ (k∈Z)
B.x= + (k∈Z)
C.x= ﹣ (k∈Z)
D.x= + (k∈Z)
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【题目】如图,已知侧棱垂直底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=3,AB=5,BC=4,点D是AB的中点.
(1)求证:AC⊥BC;
(2)求证:AC1∥平面CDB1 .
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【题目】已知命题p:x∈R,x2+1>m;命题q:指数函数f(x)=(3﹣m)x是增函数.若“p∧q”为假命题且“p∨q”为真命题,则实数m的取值范围为 .
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【题目】若y=f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0, 的部分图象如图所示.
(I)求函数y=f(x)的解析式;
(II)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象;若y=g(x)图象的一个对称中心为 ,求θ的最小值.
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【题目】如图,正三棱锥A﹣BCD的侧棱长为2,底面BCD的边长为2 ,E,分别为BC,BD的中点,则三棱锥A﹣BEF的外接球的半径R= , 内切球半径r= .
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【题目】已知向量 , 满足| |=| =1,且|k + |= | ﹣k |(k>0),令f(k)= . (Ⅰ)求f(k)= (用k表示);
(Ⅱ)若f(k)≥x2﹣2tx﹣ 对任意k>0,任意t∈[﹣1,1]恒成立,求实数x的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=xlnx,则( )
A.f(x)在(0,+∞)上是增函数
B.f(x)在 上是增函数
C.当x∈(0,1)时,f(x)有最小值
D.f(x)在定义域内无极值
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