Question

已知函数f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）
（1）要使f（x）在区间（0，1）上单调递增，试求a的取值范围；
（2）若x∈[0，1]时，f（x）图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，试求当θ∈[0，

π

4

]时，a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求导函数f′（x），要使f（x）在区间（0，1）上单调递增，只需x∈（0，1）时，f′（x）＞0恒成立，然后转化成a＞

3

2

x恒成立，即可求出a的范围；
（2）根据导数的几何意义可知tanθ=f′（x），然后根据倾斜角为θ的范围求出f′（x）的范围在x∈[0，1]恒成立，将a分离出来，使之恒成立即可求出a的范围．

解答：解：（1）f′（x）=-3x²+2ax，
由题设，当x∈（0，1）时，f′（a）＞0恒成立，
即-3x²+2ax＞0恒成立，
∴a＞

3

2

x恒成立，
∴a≥

3

2

（6分）
（2）当x∈[0，1]时，tanθ=f′（x）=-3x²+2ax
∵θ∈[0，

π

4

]．∴0≤f′(x)≤1．
∴0≤-3x²+2ax≤1
在x∈[0，1]恒成立，由（1）知，当-3x²+2ax≥0时，a≥

3

2

，
由-3x2+2ax≥1?a≤

1

2

(3x+

1

x

)恒成立，
又

1

2

(3x+

1

x

)min=

3

，∴a≤

3

∴

3

2

≤a≤

3

（12分）

点评：本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用转化与划归的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力，属于中档题．