Question

9．已知${（2{x^2}-\frac{1}{x}）^n}$的展开式二项式系数和比它的各项系数和大31．
（Ⅰ）求展开式中含有x⁴的项；
（Ⅱ）求展开式中二项式系数最大的项．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出n，再利用通项公式求展开式中含有x⁴的项；
（Ⅱ）展开式共6项，二项式系数最大项为第三、四项，即可求展开式中二项式系数最大的项．

解答 解：令x=1得展开式各项系数和为1ⁿ，二项式系数为2ⁿ，
由题意得：2ⁿ-1ⁿ=31，解得n=5．（3分）
（Ⅰ）${T_{r+1}}=C_5^r{（2{x^2}）^{5-r}}{（-\frac{1}{x}）^r}={（-1）^r}{2^{5-r}}C_5^r{x^{10-3r}}$，当10-3r=4⇒r=2，
∴${T_3}=C_5^2{（2{x^2}）^3}{（-\frac{1}{x}）^2}=80{x^4}$为所求．（6分）
（Ⅱ）∵n=5，∴展开式共6项，二项式系数最大项为第三、四项，（8分）
∴${T_3}=C_5^2{（2{x^2}）^3}{（-\frac{1}{x}）^2}=80{x^4}$，${T_4}=C_5^3{（2{x^2}）^2}{（-\frac{1}{x}）^3}=-40x$为所求．（10分）

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．