Question

7．正四面体ABCD中，AO⊥平面BCD，垂足为O，设M是线段AO上一点，且∠BMC=90°是直角，则$\frac{AM}{MO}$的值为1．

Answer 1

分析 设正四面体ABCD棱长为1，MO=x，延长BO，交CD于点N，可得BN⊥CD且N为CD中点，在Rt△BOM中，根据BM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，建立关于x的方程并解之，得x=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，再结合正四面体的高AO=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，得出MO=AM=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，从而得到所求的比值．

解答 解：延长BO，交CD于点N，可得BN⊥CD且N为CD中点
设正四面体ABCD棱长为1，得
等边△ABC中，BN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∵AO⊥平面BCD，
∴O为等边△BCD的中心，得BO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
Rt△ABO中，AO=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
设MO=x，则Rt△BOM中，BM=$\sqrt{\frac{1}{3}+{x}^{2}}$
∵∠BMC=90°，得△BMC是等腰直角三角形，
∴BM=AM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC，即$\sqrt{\frac{1}{3}+{x}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解之得x=$\frac{\sqrt{6}}{6}$
由此可得AM=AO-MO=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴MO=AM=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，得$\frac{AM}{MO}$=1
故答案为：1．

点评 本题给出正四面体ABCD高线上一点M，使得三角形BCM是等腰直角三角形，求M分高线的比值，着重考查了正四面体的性质和线面垂直位置关系的认识等知识，属于中档题．