【题目】已知a为实数,函数f(x)=x2﹣|x2﹣ax﹣2|在区间(﹣∞,﹣1)和(2,+∞)上单调递增,则a的取值范围为 .
【答案】[1,8]
【解析】解:解:令函数g(x)=x2﹣ax﹣2,由于g(x)的判别式△=a2+8>0,故函数g(x)一定有两个零点,
设为 x1 和x2 , 且 x1<x2 .
∵函数f(x)=x2﹣|x2﹣ax﹣2|= ,
故当x∈(﹣∞,x1)、(x2 , +∞)时,
函数f(x)的图象是位于同一条直线上的两条射线,
当x∈(x1 , x2 )时,函数f(x)的图象是抛物线y=2x2﹣ax﹣2下凹的一部分,且各段连在一起.
由于f(x)在区间(﹣∞,﹣1)和(2,+∞)上单调递增,
∴a>0且函数g(x)较小的零点x1= ≥﹣1,
即a+2≥ ,
平方得a2+4a+4≥a2+8,得a≥1,
同时由y=2x2﹣ax﹣2的对称轴为 x= = ,
若且﹣1≤ ≤2,可得﹣4≤a≤8.
综上可得,1≤a≤8,
故实a的取值范围为[1,8],
故答案为:[1,8]
根据绝对值的应用,将函数进行转化,结合一元二次不等式与一元二次函数之间的关系,结合函数的单调性的性质进行讨论判断.
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【题目】已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足:
①f(0)=f(1)=0;
②对所有x,y∈[0,1],且x≠y,有|f(x)﹣f(y)|< |x﹣y|.
若对所有x,y∈[0,1],|f(x)﹣f(y)|<m恒成立,则m的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为 .
(1)求抛物线C的方程;
(2)是否存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由;
(3)若点M的横坐标为 ,直线l:y=kx+ 与抛物线C有两个不同的交点A,B,l与圆Q有两个不同的交点D,E,求当 ≤k≤2时,|AB|2+|DE|2的最小值.
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【题目】已知椭圆C: 的离心率为 ,直线l:x+y﹣1=0与C相交于A,B两点.
(1)证明:线段AB的中点为定点,并求出该定点坐标;
(2)设M(1,0), ,当 时,求实数λ的取值范围.
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【题目】过双曲线 =1(a,b>0)的右焦点F作一条渐近线的垂线,垂足为P,线段OP的垂直平分线交y轴于点Q(其中O为坐标原点).若△OFP的面积是△OPQ的面积的4倍,则该双曲线的离心率为( )
A.
B.
C.2
D.
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【题目】已知函数f(x)=|lg(x﹣1)|,若1<a<b且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围为( )
A.
B.
C.(6,+∞)
D.[6,+∞)
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