分析 作出正四面体的图形,确定球的球心位置为O,说明OE是内切球的半径,运用勾股定理计算,即可得到球的体积.
解答 解:如图O为正四面体ABCD的内切球的球心,正四面体的棱长为4,
所以OE为内切球的半径,设OA=OB=R,
在等边三角形BCD中,BE=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$,
AE=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$.
由OB2=OE2+BE2,即有R2=($\frac{4\sqrt{6}}{3}$-R)2+$\frac{16}{3}$
解得,R=$\frac{3\sqrt{6}}{4}$.OE=AE-R=$\frac{\sqrt{6}}{3}$,
则其内切球的半径是$\frac{\sqrt{6}}{3}$,
所以四面体的内切球的表面积为4π•$\frac{6}{9}$=$\frac{8π}{3}$.
故答案为:$\frac{8π}{3}$.
点评 本题考查正四面体的内切球半径的求法,考查内切球的表面积的求法,正确求出半径是关键.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | [$\frac{\sqrt{3}}{2}$,1) | B. | [$\frac{\sqrt{5}}{3}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$] | C. | (0,$\frac{\sqrt{5}}{3}$] | D. | (0,$\frac{\sqrt{3}}{2}$] |
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