Question

20．点A为圆O：x²+y²=4上一动点，AB⊥x轴于B点，记线段AB的中点D的运动轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）是否存在过点P（0，$\frac{5}{3}$）的直线l与曲线C交于M，N两个不同的点，且对l外任意一点Q，有$\overrightarrow{QM}$=$\overrightarrow{4QN}$-$\overrightarrow{3QP}$成立？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设A（x₀，y₀），B（x，y），由题意可得可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=x}\\{{y}_{0}=2y}\end{array}\right.$，代入x²+y²=4化简可得；
（Ⅱ）由向量式可得$\overrightarrow{PM}$=4$\overrightarrow{PN}$，当直线l的斜率不存在时x=0符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+$\frac{5}{3}$，代入$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1消y由韦达定理可得关于k的方程，化简可得矛盾，综合可得所求直线为x=0

解答 解：（Ⅰ）设A（x₀，y₀），B（x，y），
由$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{0}}\\{y=\frac{1}{2}{y}_{0}}\end{array}\right.$可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=x}\\{{y}_{0}=2y}\end{array}\right.$，
代入x²+y²=4化简可得$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1
∴曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，是焦点在x轴的椭圆；
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{QM}$=$\overrightarrow{4QN}$-$\overrightarrow{3QP}$，∴$\overrightarrow{PM}$=4$\overrightarrow{PN}$，①
当直线l的斜率不存在时，M（0，-1），N（0，1），此时直线方程为x=0符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+$\frac{5}{3}$，
代入$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1消y并整理可得（9+36k²）x²+120kx+64=0，
由△=14400k-256（9+36k²）＞0可解得k²＞$\frac{4}{9}$，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则由韦达定理可得x₁+x₂=-$\frac{120k}{9+36{k}^{2}}$，②
x₁x₂=$\frac{64}{9+36{k}^{2}}$，③
由①得x₁=4x₂，④
由②③④消去x₁，x₂可得$\frac{16}{9+36{k}^{2}}$=$\frac{24{k}^{2}}{（9+36{k}^{2}）^{2}}$，
即$\frac{36{k}^{2}}{9+36{k}^{2}}$=1无解，
综上可得存在符合条件的直线x=0

点评 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，涉及椭圆方程的求解和圆锥曲线设而不求的思想以及分类讨论，属难题．