Question

10．已知各项皆为正数的等比数列{a_n}（n∈N^*），满足a₇=a₆+2a₅，若存在两项a_m、a_n使得$\sqrt{{a_m}{a_n}}$=4a₁，则$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$的最小值为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 利用等比数列的通项公式可得m+n=6，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：设各项皆为正数的等比数列{a_n}的公比为q＞0（n∈N^*），∵a₇=a₆+2a₅，∴${a}_{5}{q}^{2}$=a₅q+2a₅，
化为q²-q-2=0，解得q=2．
∵存在两项a_m、a_n使得$\sqrt{{a_m}{a_n}}=4{a_1}$，
∴$\sqrt{{a}_{1}^{2}{2}^{m+n-2}}$=4a₁，
∴2^m+n-2=2⁴，
∴m+n=6．
则$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$=$\frac{1}{6}（m+n）$$（\frac{1}{m}+\frac{4}{n}）$=$\frac{1}{6}$$（5+\frac{n}{m}+\frac{4m}{n}）$≥$\frac{1}{6}（5+2\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{4m}{n}}）$=$\frac{3}{2}$，当且仅当n=2m=4时取等号．
∴$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$的最小值为$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．