Question

已知f（x）=sin²x+2

3

sinxcosx+3cos²x+m，且f（

π

3

）=1
（1）求实数m的值；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,余弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）f（x）可化简为f（x）=2+2cos(2x-

π

3

)+m，f（

π

3

）=1，直接可求解．
（2）由于2x-

π

3

∈[2kπ-π，2kπ]，可直接解得f（x）的单调区间．

解答： 解：（1）∵f(x)=sin2x+2

3

sinxcosx+3cos2x+m
=2+cos2x+

3

sin2x+m
=2+2cos(2x-

π

3

)+m
又∵f(

π

3

)=1，
∴m=-2．
（2）由（1）知f（x）=2+2cos(2x-

π

3

)+m，
由于2x-

π

3

∈[2kπ-π，2kπ]得，
f（x）的单调增区间是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，
单调减区间是[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）．

点评：本题主要考察了两角和与差的正弦函数的应用，余弦函数的单调性，属于基础题．