Question

已知函数f(x)=loga

1-mx

x-1

(a＞0，a≠1)是奇函数．
（1）求m的值；
（2）求f（x）的反函数f^-1（x）；
（3）讨论f（x）的单调性，并用定义证明；
（4）当f（x）定义域区间为（1，a-2）时，f（x）的值域为（1，+∞），求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用奇函数的性质f（-x）+f（x）=0即可解得；
（2）由（1）可得：y=loga

x+1

x-1

，化为指数式，先用x表示y，再把x与y互换即可得出f^-1（x）．
（3）先判断函数y=

x+1

x-1

在其定义域上的单调性，通过对a分类讨论，再利用复合函数的单调性的判断方法“同增异减”的法则即可得出f（x）的单调性；
（4）由于1＜x＜a-2，解得a＞3，由（3）可知f（x）在（1，a-2）上单调递减．可得f（a-2）=1，解出即可．

解答：解：（1）∵函数f（x）是奇函数，
∴f(-x)+f(x)=loga

1+mx

-x-1

+loga

1-mx

x-1

=loga

1-m2x2

1-x2

=0，对定义域内的任意x恒成立，
∴

1-m2x2

1-x2

=1，即(m2-1)x2=0．
解得m=±1，经检验m=-1成立．
（2）由（1）可得：y=loga

x+1

x-1

，由

x+1

x-1

＞0，解得x＞1或x＜-1．
∴函数f（x）的定义域为{x|x＞1或x＜-1}．
由y=loga

x+1

x-1

，化为ay=

x+1

x-1

，解得x=

ay+1

ay-1

（y≠0），
∴f-1(x)=

ax+1

ax-1

(x≠0，a＞0，a≠1)．
（3）由（2）可知函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），
设g(x)=

x+1

x-1

，任取x1＜x2＜-1或1＜x1＜x2，
∵g(x1)-g(x2)=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

＞0，
∴g（x₁）＞g（x₂），
∴函数g(x)=

x+1

x-1

在(-∞，-1)或(1，+∞)上单调递减，
∴当a＞1时，f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上单调递减，
当0＜a＜1时，f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上单调递增．
（4）∵1＜x＜a-2，
∴a＞3，
由（3）可知f（x）在（1，a-2）上单调递减．
∴f(a-2)=1，即loga

a-1

a-2

=1，化简得a2-4a+1=0，
解得a=2+

3

．

点评：本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、复合函数的单调性的判断方法“同增异减”的法则、分类讨论、反函数的求法等基础知识与基本方法，属于难题．