Question

已知点A、B、C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则关于x的方程x²

OA

+x

OB

+

AC

=0的解集为（　　）

• A、{

  -1- 5

  2

  ，

  -1+ 5

  2

  }
• B、{-1}
• C、?
• D、{-1，0}

Answer 1

分析：由于点A、B、C是直线l上不同的三个点，利用向量共线定理可得：存在非0实数t（t≠1）使得

AC

=t

AB

．于是x²

OA

+x

OB

+

AC

=

0

，化为(x2-t)

OA

+(x+t)

OB

=

0

，由平面向量基本定理可得：

x2-t=0 x+t=0

，解得并验证即可．

解答：解：∵点A、B、C是直线l上不同的三个点，∴存在非0实数t（t≠1）使得

AC

=t

AB

．
∵x²

OA

+x

OB

+

AC

=

0

，∴x2

OA

+x

OB

+t(

OB

-

OA

)=

0

，
化为(x2-t)

OA

+(x+t)

OB

=

0

，
由平面向量基本定理可得：

x2-t=0 x+t=0

，解得

x=0 t=0

或

x=-1 t=1

．
∵点A、B、C是直线l上不同的三个点，∴t≠0，1．
因此关于x的方程x²

OA

+x

OB

+

AC

=

0

的解集为∅．
故选：C．

点评：本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理，属于基础题．