已知椭圆:
.
(1)椭圆的短轴端点分别为
(如图),直线
分别与椭圆
交于
两点,其中点
满足
,且
.
①证明直线与
轴交点的位置与
无关;
②若∆面积是∆
面积的5倍,求
的值;
(2)若圆:
.
是过点
的两条互相垂直的直线,其中
交圆
于
、
两点,
交椭圆
于另一点
.求
面积取最大值时直线
的方程.
(1)①交点为;②
;(2)
.
解析试题分析:(1)①本题方法很容易想到,主要考查计算推理能力,写出直线的方程,然后把直线
方程与椭圆方程联立,求得
点坐标,同理求得
点坐标,从而得到直线
的方程,令
,求出
,与
无关;②两个三角形∆
与∆
有一对对顶角
和
,故面积用公式
,
表示,那么面积比就为
,即
,这个比例式可以转化为点的横坐标之间(或纵坐标)的关系式,从而 求出
;(2)仍采取基本方法,设
的方程为
,则
的方程为
,直线
与圆
相交于
,弦
的长可用直角三角形法求,(弦心距,半径,半个弦长构成一个直角三角形),
的高为
是直线
与椭圆相交的弦长,用公式
来求,再借助于基本不等式求出最大值及相应的
值,也即得出
的方程.
试题解析:(1)①因为,M (m,
),且
,
直线AM的斜率为k1=
,直线BM斜率为k2=
,
直线AM的方程为y=
,直线BM的方程为y=
,
由得
,
由得
,
;
据已知,,
直线EF的斜率
直线EF的方程为
,
令x=0,得 EF与y轴交点的位置与m无关.
②,
,
,
,
,
,
,
整理方程得
,即
,
又有
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系中,已知
分别是椭圆
的左、右焦点,椭圆
与抛物线
有一个公共的焦点,且过点
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设点是椭圆
在第一象限上的任一点,连接
,过
点作斜率为
的直线
,使得
与椭圆
有且只有一个公共点,设直线
的斜率分别为
,
,试证明
为定值,并求出这个定值;
(III)在第(Ⅱ)问的条件下,作,设
交
于点
,
证明:当点在椭圆上移动时,点
在某定直线上.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C:的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数,直线
与以原点为圆心,以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切。
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设M是椭圆的上顶点,过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=2,证明:直线AB过定点(―1,―1)
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分)已知的两顶点坐标
,
,圆
是
的内切圆,在边
,
,
上的切点分别为
,
(从圆外一点到圆的两条切线段长相等),动点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)设直线与曲线
的另一交点为
,当点
在以线段
为直径的圆上时,求直线
的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
定义:对于两个双曲线,
,若
的实轴是
的虚轴,
的虚轴是
的实轴,则称
,
为共轭双曲线.现给出双曲线
和双曲线
,其离心率分别为
.
(1)写出的渐近线方程(不用证明);
(2)试判断双曲线和双曲线
是否为共轭双曲线?请加以证明.
(3)求值:.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知双曲线方程2x2-y2=2.
(1)求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程;
(2)过点(1,1)能否作直线l,使l与双曲线交于Q1,Q2两点,且Q1,Q2两点的中点为(1,1)?如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在直角坐标系中,为坐标原点,如果一个椭圆经过点P(3,
),且以点F(2,0)为它的一个焦点.
(1)求此椭圆的标准方程;
(2)在(1)中求过点F(2,0)的弦AB的中点M的轨迹方程.
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