Question

【题目】已知函数，.

（I）讨论的单调性；

（II）若恒成立，证明：当时，.

（III）在（II）的条件下，证明：.

Answer 1

【答案】I.见解析；Ⅱ.见解析；III 见解析.

【解析】

I：对函数求导，分类讨论导函数的正负，进而得到单调性；Ⅱ：通过分类讨论可得到a=1，根据，得到：，进而得到结果; III:通过讨论函数的单调性得到，进而得到：，由Ⅱ知两式相乘得到结果.

I.

若，f（x）在上递增；

若a>0，当时，，f(x)单调递增;

当时，单调递减。

Ⅱ.由I知，若a≤0，f（x）在（0，+）上递增，又f（l）=0，故f（x）≤0不恒成立

若a>1，当时，f（x）递减，f（x）>f（1）=0，不合题意。

若0<a<1，当时，f（x）递增，f（x）>f（l）=0.不合题意。

若a=1.f（x）在（0，1）上递增.在（1，+）上递减，f（x）≤f(1)=0，合题意。

故a=1，且（当且仅当x=1时取 “=”）

当0<x1<x2时，

所以

III.

当时，，单调递增；

当时，，g（x）单调递减。

①

由（Ⅱ）知（当且仅当x=1时取 “=”）........... ②

两个不等式的等号不能同时取到，故得到：

①②得

即,