Question

（2011•杭州一模）已知点O为△ABC的外心，角A，B，C的对边分别满足a，b，c，
（I）若3

OA

+4

OB

+5

OC

=

0

，求cos∠BOC的值；
（II）若

CO

•

AB

=

BO

•

CA

，求

b2+c2

a2

的值．

Answer 1

分析：（I）设三角形ABC的外接圆半径为R，将已知的等式变形后，左右两边平方，由O为三角形的外心，得到|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|=R，再利用平面向量的数量积运算法则计算，可得出cos∠BOC的值；
（II）将已知的等式左右两边利用平面向量的减法法则计算，再利用平面向量的数量积运算法则变形，整理后利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用正弦定理变形后，整理可得出所求式子的值．

解答：解：（Ⅰ） 设外接圆半径为R，由3

OA

+4

OB

+5

OC

=

0

得：4

OB

+5

OC

=-3

OA

，
平方得：16R²+40

OB

•

OC

+25R²=9R²，即

OB

•

OC

=-

4

5

R²，
则cos∠BOC=-

4

5

；                    
（Ⅱ）∵

CO

•

AB

=

BO

•

CA

，
∴

CO

•(

OB

-

OA

)=

BO

(

OA

-

OC

)，
即：-

OC

•

OB

+

OC

•

OA

=-

OB

•

OA

+

OB

•

OC

，
可得：-R²cos2A+R²cos2B=-R²cos2C+R²cos2A，
∴2cos2A=cos2C+cos2B，
即：2（1-2sin²A）=2-（2sin²B+2sin²C），
∴2sin²A=sin²B+sin²C，
∴利用正弦定理变形得：2a²=b²+c²，
∴

b2+c2

a2

=2．

点评：此题考查了平面向量的数量积运算法则，二倍角的余弦函数公式，正弦定理，以及向量在几何中的运用，熟练掌握平面向量的数量积运算法则是解本题的关键．