Question

如图，矩形ABCD与ADQP所在平面垂直，将矩形ADQP沿PD对折，使得翻折后点Q落在BC上，设AB=1，PA=x，AD=y．

（Ⅰ）试求y关于x的函数解析式；
（Ⅱ）当y取最小值时，指出点Q的位置，并求出此时直线AD与平面PDQ所成的角；
（Ⅲ）在条件（Ⅱ）下，求三棱锥P-ADQ的内切球的半径．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连接AQ，可以证出DQ⊥面PAQ，AQ⊥DQ，得出Rt△ABQ∽Rt△QCD，根据比例关系得出y关于x的函数解析式．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）得出 y=

x2

x2-1

变形为

(x2-1)+1

x2-1

=

x2-1

+

1

x2-1

利用基本不等式求最值
（Ⅲ）设三棱锥P-ADQ的内切球半径为r，连接OA，OP，OQ，OD则三棱锥被分成了四个小三棱锥，利用等体积分割法求出r．

解答：解：（Ⅰ）显然x＞1，连接AQ．
∵平面ABCD⊥平面ADQP，PA⊥AD，
∴PA⊥平面ABCD，PA⊥DQ，
又PQ⊥DQ，
∴DQ⊥面PAQ，AQ?面PAQ，
∴AQ⊥DQ，AD=y²-x²．
∵Rt△ABQ∽Rt△QCD，CQ=

x2-1

，
∴

DQ

AQ

=

CQ

AB

，即

x

y2-x2

=

x2-1

1

，
∴y=

x2

x2-1

(x＞1)．
（Ⅱ） y=

x2

x2-1

=

(x2-1)+1

x2-1

=

x2-1

+

1

x2-1

≥2，
当且仅当

x2-1

=

1

x2-1

即x=

2

时取等号．
此时CQ=1，即Q是BC的中点．于是由DQ⊥平面PAQ知平面PDQ⊥平面PAQ，PQ是其交线，则过A作AE⊥平面PDQ，
∴∠ADQ就是AD与平面PDQ所成的角．
由已知得AQ=

2

，PQ=AD=2，
∴AE=1，sin∠ADE=

AE

AD

=

1

2

，∠ADE=30°，
即AD与平面PDQ所成的角为30⁰．
（Ⅲ）设三棱锥P-ADQ的内切球半径为r，设该小球的球心为O，连接OA，OP，OQ，OD则三棱锥被分成了四个小三棱锥，且每个小三棱锥中有一个面上的高都为r
∴VP-ADQ=

1

3

(S△PAD+S△PAQ+S△PDQ+S△ADQ)•r
∵VP-ADQ=

1

3

S△ADQ•PA=

2

3

，S△PAD=

2

，S_△PAQ=1，S△PDQ=

2

，S_△ADQ=1，
∴r=

2

2+2 2

=

2- 2

2

．

点评：本题是函数与不等式、空间几何体的结合，考查了直线和直线、直线和平面垂直关系的判定与应用，函数思想，等体积转化的方法．考查空间想象、转化、计算能力．