对于函数y=f.如果a.b.c是一个三角形的三边长.那么f也是一个三角形的三边长.则称函数f(x)为“保三角形函数．对于函数y=g.如果a.b.c是任意的非负实数.都有g是一个三角形的三边长.则称函数g(x)为“恒三角形函数．(Ⅰ)判断三个函数“f1(x)=x.f2(x)=2x.f3(x)=3x2 中.哪些是“保三角形函数 ?请说明� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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对于函数y=f（x），x∈（0，+∞），如果a，b，c是一个三角形的三边长，那么f（a），f（b），f（c）也是一个三角形的三边长，则称函数f（x）为“保三角形函数”．
对于函数y=g（x），x∈[0，+∞），如果a，b，c是任意的非负实数，都有g（a），g（b），g（c）是一个三角形的三边长，则称函数g（x）为“恒三角形函数”．
（Ⅰ）判断三个函数“f₁（x）=x，f₂（x）=

，f₃（x）=3x²（定义域均为x∈（0，+∞））”中，哪些是“保三角形函数”？请说明理由；
（Ⅱ）若函数g(x)=

x2+kx+1

x2-x+1

，x∈[{0，+∞}）是“恒三角形函数”，试求实数k的取值范围；
（Ⅲ）如果函数h（x）是定义在（0，+∞）上的周期函数，且值域也为（0，+∞），试证明：h（x）既不是“恒三角形函数”，也不是“保三角形函数”．

分析：（Ⅰ）不妨设a≤b≤c，由a+b＞c，能推出f₁（a）+f₁（b）＞c=f₁（c），可得f₁（x）是“保三角形函数”．
同理可得f₂（x）是“保三角形函数”．通过举反列a=3，b=3，c=5，f₃（a）+f₃（b）=f₃（c），
故f₃（x）不是“保三角形函数”．
（Ⅱ）当x=0时，g（x）=1；当x＞0时，g(x)=1+

k+1

-1

，当k＞-1时，g（x）∈（1，k+2]，
由“恒三角形函数”的定义，1+1＞k+2，k＜0，故有-1＜k＜0．
当k＜-1时，g（x）∈[k+2，1]，解

k+2＞0

(k+2)+(k+2)＞1

，得k＞-

，所以，-

＜k＜-1．
将以上两个范围取并集．
（Ⅲ）因为存在正实数a，b，c，使得h（a）=1，h（b）=1，h（c）=2，故h（x）不是“恒三角形函数”．
由周期函数的定义，存在n＞m＞0，使得h（m）=1，h（n）=2，a，b，c是一个三角形的三边长，但因为
h（a）=h（b）=h（m）=1，h（c）=h（n）=2，故h（a），h（b），h（c）不是一个三角形的三边长，
h（x）也不是“保三角形函数”．

解答：解：（Ⅰ）对于f₁（x）=x，它在（0，+∞）上是增函数，
不妨设a≤b≤c，则f₁（a）≤f₁（b）≤f₁（c），因为a+b＞c，
所以f₁（a）+f₁（b）=a+b＞c=f₁（c），故f₁（x）是“保三角形函数”（2分）
对于f2(x)=

，它在（0，+∞）上是增函数，
不妨设a≤b≤c，则f₂（a）≤f₂（b）≤f₂（c），因为a+b＞c，
所以f2(a)+f2(b)=

(

＞

2(a+b)

＞

=f₂（c），
故f₂（x）是“保三角形函数”（4分）
对于f₃（x）=3x²，取a=3，b=3，c=5，显然a，b，c是一个三角形的三边长，
但因为f₃（a）+f₃（b）=3×（3²+3²）＜3×5²=f₃（c），
所以，f₃（a）、f₃（b）、f₃（c）不是三角形的三边长，故f₃（x）不是“保三角形函数”（6分）
（Ⅱ）∵g(x)=1+

(k+1)x

x2-x+1

，
∴当x=0时，g（x）=1；当x＞0时，g(x)=1+

k+1

-1

．
当k＞-1时，因为g(x)=1+

k+1

-1

≤1+

k+1

x•

-1

=k+2，
所以，g（x）∈（1，k+2]，
从而当k＞-1时，g（x）∈[1，k+2]，由1+1＞k+2，得k＜0，所以，-1＜k＜0（9分）
当k＜-1时，因为g(x)=1+

k+1

-1

≥1+

k+1

x•

-1

=k+2，
所以，g（x）∈[k+2，1），
从而当k＜-1时，g（x）∈[k+2，1]，由

k+2＞0

(k+2)+(k+2)＞1

，
得 k＞-

，所以，-

＜k＜-1，
综上所述，所求k的取值范围是：-

＜k＜0．（11分）

（Ⅲ）①因为h（x）的值域为（0，+∞），∴存在正实数a，b，c，
使得h（a）=1，h（b）=1，h（c）=2，
显然这样的h（a），h（b），h（c）不是一个三角形的三边长，
故h（x）不是“恒三角形函数”（13分）
②因为h（x）是值域为（0，+∞）的周期函数，所以存在n＞m＞0，
使得h（m）=1，h（n）=2，
设h（x）的最小正周期为T（T＞0），
令a=b=m+kT，c=n，其中k∈N^*，且k＞

n-2m

，
则a+b＞c，又显然b+c＞a，c+a＞b，所以a，b，c是一个三角形的三边长，
但因为h（a）=h（b）=h（m）=1，h（c）=h（n）=2，
所以h（a），h（b），h（c）不是一个三角形的三边长，
故h（x）也不是“保三角形函数”（16分）

点评：本题考查“保三角形函数”、“恒三角形函数”的定义，函数的单调性与周期性，体现了分类讨论的数学思想．

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．

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⑤已知x₁是方程x+lgx=5的根，x₂是方程x+10^x=5的根，则x₁+x₂=5．
其中正确的序号是

③⑤

．

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A．①②③

B．②④

C．①③

D．①④

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的比为λ（λ＞0）．若函数为f（x）=x²（x＞0），则直线AB必在曲线AB的上方，且由图象特征可得不等式

a2+λb2

1+λ

＞(

a+λb

1+λ

)2．若函数为f（x）=log₂₀₁₀x，请分析该函数的图象特征，上述不等式可以得到不等式

log2010a+log2010b

1+λ

＜log2010

a+λb

1+λ

log2010a+log2010b

1+λ

＜log2010

a+λb

1+λ

．

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A、8

B、4

C、2

D、1

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