Question

【题目】已知函数 ．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求证： ；
（3）判断曲线y=f（x）是否位于x轴下方，并说明理由．

Answer 1

【答案】解：函数的定义域为（0，+∞），

（1） ，又 ，

曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为 ．

即

（2）“要证明 ”等价于“ ”．

设函数g（x）=xlnx．

令g'（x）=1+lnx=0，解得 ．

x
g'（x）	﹣	0	+
g（x）	↘		↗

因此，函数g（x）的最小值为 ．故 ．

即 ．

（3）曲线y=f（x）位于x轴下方．理由如下：

由（2）可知 ，所以 ．

设 ，则 ．

令k'（x）＞0得0＜x＜1；令k'（x）＜0得x＞1．

所以k（x）在（0，1）上为增函数，（1，+∞）上为减函数．

所以当x＞0时，k（x）≤k（1）=0恒成立，当且仅当x=1时，k（1）=0．

又因为 ，所以f（x）＜0恒成立．

故曲线y=f（x）位于x轴下方.

【解析】（1） f ' ( 1 )可表示函数在自变量为1处点的切线斜率；（2）将本小题的问题变为求函数g（x）=xlnx的最值问题；（3）判断曲线y=f（x）是否位于x轴下方即判断函数值是否恒小于0.
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．