Question

【题目】已知函数f（x）=（log2x﹣2）（log4x﹣ ）
（1）当x∈[2，4]时．求该函数的值域；
（2）若f（x）≥mlog2x对于x∈[4，16]恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：

此时， ．，∵ ∴

所以函数的值域为 ；

（2）f（x）≥mlog2x对于x∈[4，16]恒成立，

即2t2﹣3t+1≥mt对t∈[1，2]恒成立，∴ ，

易知 ，∴g（t）min=g（1）=0，∴m≤0．

【解析】通过换底公式后f（x）=，令，x∈[2，4]时，t∈[，1]，换元后求出函数的值域，（2）f（x）≥mlog2x对于x∈[4，16]恒成立，即2t2﹣3t+1≥mt对t∈[1，2]恒成立，进行参变分离可得到m的取值范围.
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的值域和基本不等式在最值问题中的应用的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的；用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”．