Question

用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架,如果容器底面的长比宽多0.5 m,那么长和宽分别为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.

Answer 1

解:设容器底面长方形宽为x m,则长为(x+0.5) m,依题意,容器高为［14.8-4x-4(x+0.5)］=3.2-2x.显然0＜x＜1.6,即x的取值范围为(0,1.6).

记容器的容积为y m³,则y=x(x+0.5)(3.2-2x)=-2x³+2.2x²+1.6x,x∈(0,1.6),

求导得y′=-6x²+4.4x+1.6,令y′＞0,解得0＜x＜1,令y′＜0,得1＜x＜1.6.

所以,当x=1时,y取得最大值1.8,这时容器的长为1+0.5=1.5.

答:容器的底面长为1.5 m,宽为1 m时,容器容积最大,最大容积为1.8 m³.