Question

若函数f(x)=

x2+3x-4 x-1 (x＞1) n+x3(x≤1)

在x=1处连续，则(x+

1

x

-2)n展开式中常数项是（　　）

• A、70
• B、-70
• C、140
• D、-140

Answer 1

分析：首先由函数连续的意义，可得

lim

n→1+

x2+3x-4

x-1

=5=n+（1）³，可得n的值，进而可得，（x+

1

x

-2）⁴=（x+

1

x

-2）•（x+

1

x

-2）•（x+

1

x

-2）•（x+

1

x

-2），其常数项必然是4个括号中，都取（-2）；或两个取x，剩下两个取（

1

x

）；或两个取（-2），剩下两个一个取x，一个取（

1

x

）；分别求出其情况数目，由加法原理计算可得答案．

解答：解：根据题意，若函数f(x)=

x2+3x-4 x-1 (x＞1) n+x3(x≤1)

在x=1处连续，
则有

lim

n→1+

x2+3x-4

x-1

=5=n+（1）³，
解可得，n=4；
（x+

1

x

-2）⁴=（x+

1

x

-2）•（x+

1

x

-2）•（x+

1

x

-2）•（x+

1

x

-2），
其常数项必然是4个括号中，都取（-2）；或两个取x，剩下两个取（

1

x

）；或两个取（-2），剩下两个一个取x，一个取（

1

x

）；
则其常数项为（-2）⁴+C₄²+C₄²•C₂¹•（-2）²=16+6+48=70；
故选A．

点评：本题考查排列、组合的应用，注意分类讨论时，要全面考虑，也可由二项式定理解题．