Question

【题目】已知抛物线的方程为y2=4x，直线L过定点P（﹣2，1），斜率为k．当k为何值时直线与抛物线：
（1）只有一个公共点；
（2）有两个公共点；
（3）没有公共点．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可设直线方程为：y=k（x+2）+1，

代入抛物线方程整理可得k2x2+（4k2+2k﹣4）x+4k2+4k+1=0（*）

直线与抛物线只有一个公共点等价于（*）只有一个根

①k=0时，y=1符合题意；

②k≠0时，△=（4k2+2k﹣4）2﹣4k2（4k2+4k+1）=0，整理，得2k2+k﹣1=0，

解得k= 或k=﹣1．

综上可得，k= 或k=﹣1或k=0

（2）解：由（1）得2k2+k﹣1＜0且k≠0，∴﹣1＜k＜ 且k≠0
（3）解：由（1）得2k2+k﹣1＞0，∴k＞ 或k＜﹣1
【解析】设出直线方程代入抛物线方程整理可得k2x2+（4k2+2k﹣4）x+4k2+4k+1=0（*）（1）直线与抛物线只有一个公共点（*）只有一个根（2）直线与抛物线有2个公共点（*）有两个根（3）直线与抛物线没有一个公共点（*）没有根