【题目】设函数 .
(I)讨论的单调性;
(Ⅱ)当时,讨论的零点个数.
【答案】(1)见解析;(2)当时,共有3个零点.
【解析】
(I)求出导函数 f'(x)=2(x﹣1)(1nx+a)(x>0).通过①当a=0时,②当a>0时,③当a<0时,判断导函数的符号,然后判断函数的单调性.
(Ⅱ)当a<﹣2时,由(I)知f(x)在(0,1)上递增,(1,e﹣a)上递减,(e﹣a,+∞)上递增,当x∈(0,1)时存在x0,使f(x0)<0.推出函数f(x)在(0,1)上的单调性,可知f(x)在(0,1)上有唯一的一个零点.说明在x∈(e﹣a,+∞)上,存在x1,使f(x1)>0,然后推出f(x)当a<﹣2时,共有3个零点.
(I) .
①当时, ,当时, ,
当时, ,当时, .在递增
②当时,令,得,此时.
易知在递增, 递减, 递增
③当时, .易知在递增, 递减, 递增
(Ⅱ)当时,由(I)知在上递增, 上递减, 上递增,
且 ,将代入,
得
,
下面证明 当时存在,使.
首先,由不等式,,.
考虑到,
.
再令,可解出一个根为,
,,就取.
则有.由零点存在定理及函数在上的单调性,可知在上有唯一的一个零点.
由,及的单调性,可知在上有唯一零点.
下面证明在上,存在,使,就取,则,
,
由不等式,则,即.
根据零点存在定理及函数单调性知在有一个零点.
综上可知,当时,共有3个零点.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】长沙某公司生产一种高科技晶片100片,生产过程中由于受到一些不可抗因素的影响,晶片会受到一定程度的磨损,因此在生产结束之后需要由测试人员进行相应的指标测试.指标测试情况统计如表所示:
若,则称该晶片为合格品,否则该晶片为劣质品.
(1)试求本次生产过程中该公司生产出合格品的频率以及数量;
(2)求这批晶片测试指标的平均值;
(3)现按照分层抽样的方法在测试指标在与之间的晶片中抽取6个晶片,再从这6个晶片中任取2个晶片进入深入分析,求恰有1个晶片的测试指标在之间的概率.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,以相同的长度单位建立极坐标系,已知直线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为.
(1)请分别写出直线与曲线的直角坐标方程;
(2)已知直线与曲线交于,两点,设,且,求实数的值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设全集U=R,集合A={x|1≤x<4},B={x|2a≤x<3-a}.
(1)若a=-2,求B∩A,B∩(UA);(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在底面是菱形的四棱锥中, 平面, ,点分别为的中点,设直线与平面交于点.
(1)已知平面平面,求证: .
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com