Question

2．设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且（3b-c）cosA=acosC．
（1）求cosA的值；
（2）若△ABC的面积S=2$\sqrt{2}$，求△ABC的周长的最小值．

Answer 1

分析 （1）将条件转化为边的关系，然后利用余弦定理即可求出A的余弦值．
（2）易求sinA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，利用三角形面积公式可得bc=6，a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-4，利用基本不等式即可求得a+b+c的最小值；

解答 解：（1）∵在△ABC中，（3b-c）cosA=acosC，
∴（3b-c）×$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$-a×$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=0，
∴b²+c²-a²=$\frac{2}{3}$bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\frac{2}{3}bc}{2bc}$=$\frac{1}{3}$．
（2）由cosA=$\frac{1}{3}$，解得sinA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}bc×\frac{2\sqrt{2}}{3}$=2$\sqrt{2}$⇒bc=6，
又a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-$\frac{2}{3}$bc，
∴b+c+a=b+c+$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}-4}$≥2$\sqrt{bc}$+$\sqrt{2bc-4}$=2$\sqrt{6}$+2$\sqrt{2}$，
当且仅当a=b时，取等号，
∴△ABC的周长的最小值是2$\sqrt{6}$+2$\sqrt{2}$．

点评 该题考查三角形面积公式、余弦定理及其应用，考查利用基本不等式求函数最值，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，属于中档题．