Question

设函数f(x)=

1

2

x2ex
（1）求该函数的单调区间；
（2）若当x∈[-2，2]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

∵f(x)=

1

2

x2ex，
∴f′（x）=xe^x+

1

2

x²e^x=

1

2

e^xx（x+2），
令f′（x）＞0，解得x＞0或x＜-2，
令f′（x）＜0，解得-2＜x＜0，
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，-2），（0，+∞），单调减区间为（-2，0）；
（2）∵当x∈[-2，2]时，不等式f（x）＜m恒成立，
∴m＞f（x）_max，
由（1）可知，f′（x）=xe^x+

1

2

x²e^x=

1

2

e^xx（x+2），
令f′（x）=0，可得x=-2或x=0，
∵f（-2）=

2

e2

，f（0）=0，f（2）=2e²，
∴f（x）_max=2e²，
∴m＞2e²，
∴实数m的取值范围为m＞2e²．