【题目】在四棱锥
中， 
， 
， 
， 
， 
是棱
的中点，且
.
（Ⅰ）求证： 
平面
；
（Ⅱ）若
为棱
上一点，满足
，求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析；（2）余弦值为
.
【解析】试题分析：（1）证明线面垂直，先找线线垂直， 
， 
，所以
，
以
，再由
得到线面垂直；（2）由空间向量坐标系的方法，得到两个半平面的法向量，由向量的夹角公式得到二面角的余弦值.
解析：
（Ⅰ）取
中点
，连接
，
由已知
， 
，故
为平行四边形.
所以
，因为
，故
.
又
，所以
，
，所以
.
由已知可求， 
，所以
，所以
.
又
，所以
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
，又
，
以点
为原点建立空间直角坐标系（如图），可得
， 
， 
， 
.
由
为棱
的中点，得
.
向量
， 
， 
， 
.
由点
在棱
上，设
， 
.
故
.
由
，得
，
因此， 
，解得
.
即
.
设
为平面
的法向量，则
即
不妨令
，可得
为平面
的一个法向量.
取平面
的法向量
，
则
.
易知，二面角
是锐角，所以其余弦值为
.
智能训练练测考系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线
的极坐标方程为
，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为
的正半轴，建立平面直角坐标系
.
（1）若曲线
为参数）与曲线
相交于两点
，求
；
（2）若
是曲线
上的动点，且点
的直角坐标为
，求
的最大值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某超市在2017年五一正式开业，开业期间举行开业大酬宾活动，规定：一次购买总额在区间
内者可以参与一次抽奖，根据统计发现参与一次抽奖的顾客每次购买金额分布情况如下：
（1）求参与一次抽奖的顾客购买金额的平均数与中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果保留到整数）；
（2）若根据超市的经营规律，购买金额
与平均利润
有以下四组数据：
试根据所给数据，建立
关于
的线性回归方程
，并根据（1）中计算的结果估计超市对每位顾客所得的利润.
参考公式： 
， 
.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某地随着经济的发展，居民收入逐年增长.该地一建设银行统计连续五年的储蓄存款（年底余额）得到下表：
年份 |
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储蓄存款 （千亿元） |
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|
为便于计算，工作人员将上表的数据进行了处理（令
， 
），得到下表：
时间 |
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|
|
储蓄存款 |
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|
|
|
（Ⅰ）求
关于
的线性回归方程；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）中的方程，求出
关于
的回归方程；
（Ⅲ）用所求回归方程预测到
年年底，该地储蓄存款额可达多少？
附：线性回归方程
，其中
， 
.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，已知长方体
，直线
与平面
所成角为
垂直
于点
为
的中点.
（1）求直线
与平面
所成角的正弦值；
（2）线段
上是否存在点
，使得二面角
的余弦值为
？若存在，确定
点位置；若不存在，说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在直角坐标系
中，曲线
的参数方程是
（
为参数），以该直角坐标系的原点
为极点， 
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
.
（1）写出曲线
的普通方程和直线
的直角坐标方程；
（2）设点
，直线
与曲线
相交于
两点，且
，求实数
的值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】有甲、乙两个桔柚（球形水果）种植基地，已知所有采摘的桔柚的直径都在
范围内（单位：毫米，以下同），按规定直径在
内为优质品，现从甲、乙两基地所采摘的桔柚中各随机抽取500个，测量这些桔柚的直径，所得数据整理如下：
（1）根据以上统计数据完成下面
列联表，并回答是否有
以上的把握认为“桔柚直径与所在基地有关”？
（2）求优质品率较高的基地的500个桔柚直径的样本平均数
(同一组数据用该区间的中点值作代表)；
（3）记甲基地直径在
范围内的五个桔柚分别为
，现从中任取二个，求含桔柚
的概率.
附： 
， 
.
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