Question

设球O是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的内切球，若平面ACD₁截球O所得的截面面积为6π，则球O的半径为（　　）

• A、

  3

  2

• B、3
• C、

  3

  2

• D、

  3

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：易知BD'过球心O，且BD'⊥平面ACD'，不妨设垂足为M，正方体棱长为a，平面ACD₁截球O所得的截面面积为6π，建立方程，求出正方体的棱长，即可求出球O的半径．

解答：解：如图，易知BD'过球心O，且BD'⊥平面ACD'，不妨设垂足为M，正方体棱长为a，则球半径为R=

a

2

，易知DM=

1

3

DB′，
∴OM=

1

6

DB′=

3

6

a，∴截面圆半径r=

( a 2 )2-OM2

=

6

6

a，所以截面圆面积S=πr²=6π，得r=

6

6

a=

6

，a=6，
∴球O的半径为R=

a

2

=3． 
答案C．

点评：本题考查了正方体和它的内接球的几何结构特征，关键是想象出截面图的形状，考查了空间想象能力，数形结合的思想．