Question

已知椭圆的中心在原点O，焦点在x轴上，点A（-2

3

，0)是其左顶点，点C在椭圆上，且

AC

•

CO

=0，|

AC

|=|

CO

|．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若平行于CO的直线l和椭圆交于M，N两个不同点，求△CMN面积的最大值，并求此时直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，左顶点A（-2

3

，0)，AC⊥CO，|AC|=|CO|．a²=12，C（-

3

，

3

）再由C在椭圆上知b²=4，由此能导出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），若CO的斜率为-1，设直线l的方程为y=-x+m，代入

x2

12

+

y2

4

=1得4x²-6mx+3m²-12=0，由题设条件能导出|MN|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

12- 3m2 4

，又C到直线l的距离d=

|- 3 + 3 -m|

2

=

|m|

2

，所以△CMN的面积S=

1

2

•|MN|•d=

3

4

m2•(16-m2)

≤

3

4

•

( m2+16-m2 2 )2

=2

3

，由此能求出直线l的方程．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∵左顶点A（-2

3

，0)，AC⊥CO，|AC|=|CO|．
∴a²=12，C（-

3

，

3

），（第三象限的点相同，可以不考虑）（2分）
又∵C在椭圆上，∴

3

12

+

3

b2

=1，∴b²=4，（4分）
∴椭圆的标准方程为

x2

12

+

y2

4

=1．（5分）
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），若CO的斜率为-1，
则设直线l的方程为y=-x+m，代入

x2

12

+

y2

4

=1得4x²-6mx+3m²-12=0，（6分）

△=36m2-4•4(3m2-12)＞0 x1+x2= 3m 2 x1•x2= 3m2-12 4

（7分）
∴|MN|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

12- 3m2 4

，（8分）
又C到直线l的距离d=

|- 3 + 3 -m|

2

=

|m|

2

，（9分）
∴△CMN的面积S=

1

2

•|MN|•d=

3

4

m2•(16-m2)

（10分）
≤

3

4

•

( m2+16-m2 2 )2

=2

3

，（11分）
当且仅当m²=16-m²时取等号，此时m=±2

2

满足题中条件，（12分）
∴直线l的方程为x+y±2

2

=0．（13分）
当点C在第三象限时，由对称可知：直线l的方程为x-y±2

2

=0（14分）

点评：本题考查点的轨迹方程，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．