Question

已知命题p：log₂（x+2）-2≤log₂3，q：x²-2x+1-m²≤0，若¬p是¬q的充分非必要条件，试求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：先求出命题p满足的条件，然后求出¬p，讨论m的符号，解出q，从而求出¬q，最后根据¬p是¬q的充分非必要条件建立关于m的不等关系，解之即可求出所求．
解答：解：由p：log₂（x+2）-2≤log₂3，得-2＜x≤10．∴¬p：A={x|x≤-2或x＞10}．            …（3分）
（1）当m＞0时，由x²-2x+1-m²≤0，得1-m≤x≤1+m．∴¬q：B={x|x＜1-m或x＞1+m，m＞0}．             …（5分）
∵¬p是¬q的充分非必要条件，且m＞0，∴AB．
∴即0＜m＜3…（8分）
（2）当m＜0时，q：x²-2x+1-m²≤0∴1+m≤x≤1-m
同理可得：则实数m的取值范围为-3＜m＜0…（11分）
（3）当m=0时，q：x²-2x+1≤0⇒x=1成立        …（12分）
综上所述，实数m的取值范围m∈（-3，3）…（14分）
点评：本题主要考查了不等式的解法，以及否命题等概念，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．