Question

（2011•静海县一模）已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，

Sn

是

1

4

与(an+1)2的等比中项．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是等差数列；
（Ⅱ）若b₁=a₁，且b_n=2b_n-1+3，求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若cn=

an

bn+3

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用

Sn

是

1

4

与(an+1)2的等比中项，可得Sn=

1

4

(an+1)2，再写一式，两式相减，即可求数列{a_n}是等差数列；
（Ⅱ）确定数列{b_n+3}是公比为2的等比数列，即可求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）利用错位相减法，即可求数列{c_n}的前n项和T_n．

解答：（Ⅰ）证明：∵

Sn

是

1

4

与(an+1)2的等比中项，
∴Sn=

1

4

(an+1)2
∴n≥2时，Sn-1=

1

4

(an-1+1)2
两式相减可得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0
∵数列各项为正
∴a_n-a_n-1=2
∵n=1时，S1=

1

4

(a1+1)2
∴a₁=1
∴数列{a_n}是以1为首项，公差为2的等差数列
∴a_n=2n-1；
（Ⅱ）解：∵b_n=2b_n-1+3，∴b_n+3=2（b_n-1+3），
∴数列{b_n+3}是公比为2的等比数列
∵b₁=a₁=1，
∴b₁+3=4，∴b_n+3=2ⁿ⁺¹
∴b_n=2ⁿ⁺¹-3；
（Ⅲ）解：在（Ⅱ）的条件下，cn=

an

bn+3

=

2n-1

2n+1

，
∴T_n=

1

22

+

3

23

+…+

2n-1

2n+1

∴

1

2

T_n=

1

23

+

3

24

+…+

2n-1

2n+2

两式相减可得

1

2

T_n=

1

22

+

2

23

+…+

2

2n+1

-

2n-1

2n+2

=

3

4

-

2n+5

2n+2

∴T_n=

3

2

-

2n+5

2n+1

．

点评：本题考查等差数列的判定，考查数列的通项与求和，看下错位相减法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．