Question

已知等比数列{a_n}中，a₂，a₃，a₄分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且a1=

1

2

公比q≠1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知数列{b_n}满足bn=log

1

2

an2，S_n是数列{b_n}的前n项和，求证：当n≥5时，a_nS_n＜1．

Answer 1

分析：（1）、根据题中已知条件结合等差数列的性质便可求出关于q的一元二次方程，解方程便可得出符合条件q的值，进而求得数列{a_n}的通项公式；
（2）、先求出Sn，找出所需证明的不等式的关系，然后分别讨论当n=5和n＞5两种情况下不等式恒成立即可．

解答：解：（1）由已知得a₂-a₃=2（a₃-a₄）．
从而得2q²-3q+1=0
解得q=

1

2

或q=1（舍去）…（4分）
所以a_n=a₁•q^n-1=

1

2

•（

1

2

）^n-1=(

1

2

)n．
∴数列{a_n}的通项公式为an=(

1

2

)n；…（6分）
（2）由于bn=2log

1

2

(

1

2

)n=2n•Sn=n(n+1)，anSn=

n(n+1)

2n

．
因此所证不等式等价于：2ⁿ＞n（n+1）（n≥5．）
①当n=5时，因为左边=32，右边=30，32＞30，所以不等式成立；
②假设n=k（k≥5）时不等式成立，即2^k＞k（k+1），
两边同乘以2得2^k+1＞（k+1）（k+2）．
这说明当n=k+1时也不等式成立．
由①②知，当n≥5时，2ⁿ＞n（n+1）成立．
因此，当n≥5时，a_nS_n＜1成立．…（12分）

点评：本题考查了等差数列和等比数列的性质以及等比数列的通项公式和前n项和的求法，考查了学生的计算能力，解题时注意分类讨论的数学思想的运用，属于中档题．