Question

已知函数f（x）为偶函数，满足f（x+1）=1-f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间[-1，3]内，函数g（x）=f（x）-kx-k有四个零点，则实数k的取值范围是

[0，

1

4

]

．

Answer 1

分析：由f（x+1）=1-f（x）可得函数f（x+2）=f（x），故函数f（x）是以2为周期的周期函数．由题意可得函数y=f（x）的图象与直线y=k（x+1）在区间[-1，3]内有4个交点，根据奇偶性和周期性作出f（x）、y=k（x+1）的图象，数形结合可得实数k的取值范围．

解答：解：由f（x+1）=1-f（x）可得函数f（x+2）=1-f（x+1）=1-[1-f（x）]=f（x），故函数f（x）是以2为周期的周期函数．
函数g（x）=f（x）-kx-k有四个零点，故函数y=f（x）的图象与直线y=k（x+1）在区间[-1，3]内有4个交点．
再根据函数f（x）为偶函数，如图所示：可得0＜k，且 k（3+1）≤1，求得0＜k≤

1

4

，
故答案为 （0，

1

4

]．

点评：本题主要考查方程的根的存在性以及根的个数判断，函数的奇偶性，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．