Question

5．为检测空气质量，某市环保局随机抽取了甲、乙两地2016年20天PM2.5日平均浓度（单位：微克/立方米）监测数据，得到甲地PM2.5日平均浓度频率分布直方图和乙地PM2.5日平均浓度的频数分布表．

乙地20天PM2.5日平均浓度频数分布表

PM2.5日平均浓度（微克/立方米）	[0，20]	（20，40]	（40，60]	（60，80]	（80，100]
频数（天）	2	3	4	6	5

（1）根据乙地20天PM2.5日平均浓度的频率分布表作出相应的频率分组直方图，并通过两个频率分布直方图比较两地PM2.5日平均浓度的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；
（2）通过调查，该市市民对空气质量的满意度从高到低分为三个等级：

满意度等级	非常满意	满意	不满意
PM2.5日平均浓度（微克/立方米）	不超过20	大于20不超过60	超过60

记事件C：“甲地市民对空气质量的满意度等级高于乙地市民对空气质量的满意度等级”，假设两地市民对空气质量满意度的调查结果相互独立，根据所给数据，利用样本估计总体的统计思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C的概率．

Answer 1

分析 （1）根据乙地20天PM2.5日平均浓度的频率分布表能作出相应的频率分组直方图，由频率分布直方图能求出结果．
（2）记A₁表示事件：“甲地市民对空气质量的满意度等级为满意或非常满意”，A₂表示事件：“甲地市民对空气质量的满意度等级为非常满意”，B₁表示事件：“乙地市民对空气质量的满意度等级为不满意”，B₂表示事件：“乙地市民对空气质量的满意度等级为满意”，则A₁与B₁独立，A₂与B₂独立，B₁与B₂互斥，C=B₁A₁∪B₂A₂，由此能求出事件C的概率．

解答 解：（1）根据乙地20天PM2.5日平均浓度的频率分布表作出相应的频率分组直方图，如下图：

由频率分布直方图得：
甲地PM2.5日平均浓度的平均值低于乙地PM2.5日平均浓度的平均值，
而且甲地的数据比较集中，乙地的数据比较分散．
（2）记A₁表示事件：“甲地市民对空气质量的满意度等级为满意或非常满意”，
A₂表示事件：“甲地市民对空气质量的满意度等级为非常满意”，
B₁表示事件：“乙地市民对空气质量的满意度等级为不满意”，
B₂表示事件：“乙地市民对空气质量的满意度等级为满意”，
则A₁与B₁独立，A₂与B₂独立，B₁与B₂互斥，C=B₁A₁∪B₂A₂，
P（C）=P（B₁A₁∪B₂A₂）=P（B₁）P（A₁）+P（B₂）P（A₂），
由题意P（A₁）=$\frac{9}{10}$，P（A₂）=$\frac{1}{10}$，P（B₁）=$\frac{11}{20}$，P（B₂）=$\frac{7}{20}$，
∴P（C）=$\frac{11}{20}×\frac{9}{10}+\frac{7}{20}×\frac{1}{10}=\frac{53}{100}$．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件加法公式和相互独立事件事件概率乘法公式的合理运用．