Question

选修4—1：几何证明选讲（10分）：

如图：如图E、F、G、H为凸四边形ABCD中AC、BD、AD、DC的中点，∠ABC=∠ADC。

（1）求证：∠ADC=∠GEH；        （3分）

（2）求证：E、F、G、H四点共圆；  （4分）

（3）求证：∠AEF=∠ACB－∠ACD   （3分）

 

Answer 1

【答案】

证明略

【解析】证明：

（1）因为E、G、H为凸四边形ABCD中AC、AD、DC的中点，

所以EG//CD ，EH//AD 四边形EGDH是平行四边形

∠ADC=∠GEH；                                            --------------3分

（2）E、F、H为凸四边形ABCD中AC、BD、CD的中点，

FG//AB∠GFD=∠ABD  同理可证∠DBC=∠DFH

所以∠GFH=∠ABC   （FG//AB,FH//BC利用等角定理亦可得）         ------5分

 又因为∠ABC=∠ADC（条件），∠ADC=∠GEH（已证）

所以 ∠GFH=∠GEH，所以E、F、G、H四点共圆；                   ---------7分

（3）BC//FH，GH//AC∠ABC=∠FHG(等角定理)

E、F、G、H四点共圆∠FHG=∠FEG    所以∠ABC=∠FEG

       EG//CD∠AEG=∠ACD  

       ∠AEF=∠FEG－∠AEG=∠ACB－∠ACD                         --------10分